\section{粗糙集与上下近似}
    粗糙集分为以经典粗糙集为代表的多种，这里列举一些课本上见到的.
\subsection{经典粗糙集与其上下近似}
    信息系统 $IS = (U,A,V,F)$, 其中 $U=\left\{ x_1,x_2,\cdots,x_n \right\}$ 是论域, $A = \left\{ a_1,a_2,\cdots,a_m \right\}$ 是属性集, $V=V_1 \bigcup V_2 \bigcup \cdots \bigcup V_m$ 是值域集, 其中 $V_i=\left\{ v_{i1},v_{i2},\cdots,v_{im_i} \right\}$ 是对于属性 $a_i$ 的值域, $F=\left\{ f_l\Big|f_l:U\to V_l,l\in A \right\}$ 是从 $U$ 到 $V_l$ 的映射的集合.
    
    对于 $B\subseteq A$, 定义等价关系 
    $$ R_B = \left\{ (x,y)\in U\times U \Big|f_l(x) = f_l(y),\forall l\in B \right\} $$ 
    通过等价关系有等价类(粒)
    $$ [x]_R = \left\{ y\in U\Big|(x,y)\in R \right\} $$
    从而有上下近似
    $$\begin{aligned}
        \underline{R}X = \left\{ x\in U\Big|[x]_R\subseteq X \right\} \\ 
        \overline{R}X =  \left\{ x\in U\Big|[x]_R \bigcap X \ne \varnothing \right\}
    \end{aligned}$$